Miniatury matematyczne 95

Komitet Organizacyjny konkursu "Kangur Matematyczny" oddaje do rąk Czytelnika już dziewięćdziesiąty piąty tomik serii Miniatury Matematyczne. Od wielu już lat przygotowujemy corocznie kilkanaście krótkich artykułów-miniatur o tematyce popularyzującej matematykę. Artykuły te, podzielone na kategorie wiekowe, ukazują się w czterech osobnych tomikach. Tomik niniejszy skierowany jest głównie do starszych odbiorców, mianowicie uczniów szkół ponadpodstawowych, którzy interesują się matematyką i pragną poszerzyć swoją wiedzę.

W książeczce znajdują się cztery miniatury. Dwie początkowe obracają się wokół zagadnień arytmetycznych z pewnym aspektem kombinatorycznym - jest to wdzięczna tematyka, gdyż występujące w niej pojęcia wyjściowe są uczniowi bliskie i zrozumiałe, a problemy mają na ogół jasne i czytelne sformułowania. Dwie kolejne miniatury również łączy wspólna tematyka. Jest ona tym razem wyjątkowa i rzadziej spotykana w naszej serii - mianowicie w obu miniaturach króluje geometria przestrzenna. To niezwykła gratka dla miłośników geometrii w ogóle, a stereometrii w szczególności, gdyż publikacji z tej trudnej a bardzo kształcącej dziedziny nie znajdziemy aż tak wiele. Przejdziemy teraz do krótkiego streszczenia treści poszczególnych miniatur.

Pierwsza miniatura nosi tytuł O liczeniu dzielników i dokładnie o tym traktuje. Punktem wyjścia do rozważań w niej zawartych jest pytanie o liczbę dzielników liczby całkowitej dodatniej. Już w szkole podstawowej wyróżnia się podzbiór liczb naturalnych o dwóch dzielnikach, czyli liczb pierwszych. Czytelnik, który miał okazję poszerzyć swoją wiedzę o liczbach pierwszych, wie, że tak prosty warunek jak posiadanie dwóch dzielników prowadzi do bardzo ciekawych własności. W miniaturze badamy liczby o ustalonej liczbie dzielników, a także sumę tych dzielników, ich iloczyn, jak również inne działania. Pojawiają się znane pojęcia takie jak liczby doskonałe, a także wprowadzone są nazwy mniej popularnych rodzajów liczb. Funkcje przyporządkowujące liczbie naturalnej liczbę jej dzielników, sumę dzielników i inne wielkości rozważane w miniaturze są przykładami obiektów ważnej rodziny multiplikatywnych funkcji arytmetycznych.

Drugi artykuł pod tytułem Między arytmetyką a kombinatoryką. O kwadratach magicznych opowiada o genezie i matematycznych własnościach tak zwanych kwadratów magicznych. Pojęcie kwadratu magicznego spotykane jest często wśród zagadnień o charakterze łamigłówek i oznacza kwadratową tabelę, którą należy wypełnić liczbami tak, aby ich sumy w każdej kolumnie, wierszu i często na obu przekątnych były równe. Autor podkreśla jednak, ze terminologia ta jest umowna i na potrzeby swojej miniatury przyjmuje założenie, że tablicę należy wypełnić kolejnymi liczbami naturalnymi od 0 do n2 1. Okazuje się, że do badania arytmetycznych własności kwadratów magicznych przydaje się podstawowa wiedza z teorii podzielności, w szczególności twierdzenie o dzieleniu z resztą i tak zwany rachunek modularny, czyli rachunek na resztach z dzielenia. W miniaturze przedstawiono różne rodzaje kwadratów magicznych, a także sposoby ich konstruowania.

Trzecia miniatura nosi tytuł Kąty trójścienne, który również bezpośrednio wskazuje na jej tematykę. Autor podkreśla w niej, że pojęcie kąta trójściennego może stanowić trójwymiarowy odpowiednik trójkąta, co różni się od bardziej popularnego podejścia traktującego w taki sposób czworościan. Miniatura rozpoczyna się od definicji i podstawowych własności kąta trójściennego, w dalszym ciągu znajdziemy trójwymiarowe odpowiedniki znanych twierdzeń dotyczących trójkątów, mianowicie twierdzenia sinusów, kosinusów, Cevy i Menelaosa. Treści teoretyczne opatrzone są rysunkami, które pomagają wyobrazić sobie badane obiekty. Na koniec Czytelnik znajdzie kilka zadań pozostawionych do samodzielnego rozwiązania.

(,,,)